Question

【題目】如圖，我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”．如果一條直線與果圓只有一個交點，則這條直線叫做果圓的切線．已知A、B、C、D四點為果圓與坐標軸的交點，E為半圓的圓心，拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，AC為半圓的直徑．

（1）分別求出A、B、C、D四點的坐標；

（2）求經過點D的果圓的切線DF的解析式；

（3）若經過點B的果圓的切線與x軸交于點M，求△OBM的面積．

Answer 1

【答案】（1）（0，）；（2）y=x+；（3）．

【解析】

試題分析：（1）連接DE，根據坐標軸上點的坐標特征求出A、B、C的坐標，根據題意求出半圓的直徑，根據勾股定理求出OD的長，得到點D的坐標；

（2）根據射影定理求出EF的長，得到點F的坐標，運用待定系數法求出經過點D的果圓的切線DF的解析式；

（3）根據切線的性質得到經過點B的果圓的切線與拋物線只有一個公共點，根據一元二次方程的判別式解答即可求出點M的坐標，根據三角形的面積公式計算即可．

解：（1）連接DE，

∵y=x2﹣2x﹣3，

∴x=0時，y=﹣3，

y=0時，x1=﹣1，x2=3，

∴點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（0，﹣3），點C的坐標為（3，0），

∵AC=4，

∴AE=DE=2，

∴OE=1，

∴OD==，

∴D點的坐標為（0，）；

（2）∵DF是果圓的切線，

∴ED⊥DF，又DO⊥EF，

∴DE2=EOEF，

∴EF=4，則OF=3，

∴點F的坐標為（﹣3，0），

設經過點D的果圓的切線DF的解析式為y=kx+b，

則，

解得．

∴經過點D的果圓的切線DF的解析式為y=x+；

（3）設經過點B的果圓的切線的解析式為：y=ax+c，

∵點B的坐標為（0，﹣3），

∴經過點B的果圓的切線的解析式為：y=ax﹣3，

由題意得，方程組只有一個解，

即一元二次方程x2﹣（a+2）x=0有兩個相等的實數根，

△=（a+2）2﹣4×1×0=0，

解得a=﹣2，

∴經過點B的果圓的切線的解析式為：y=﹣2x﹣3，

當y=0時，x=﹣，

∴點M的坐標為（﹣，0），即OM=，

∴△OBM的面積=×OM×OB=．