Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0）．

（1）求點B的坐標；

（2）已知a＝1，C為拋物線與y軸的交點，若點P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC．求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（1，0）（2）（4，21）或（﹣4，5）

【解析】

（1）由拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1，交x軸于A、B兩點，其中A點的坐標為（﹣3，0），根據二次函數的對稱性，即可求得B點的坐標；

（2）a＝1時，先由對稱軸為直線x＝﹣1，求出b的值，再將B（1，0）代入，求出二次函數的解析式為y＝x2+2x﹣3，得到C點坐標，然后設P點坐標為（x，x2+2x﹣3），根據S△POC＝4S△BOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標．

（1）∵對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，

∴A、B兩點關于直線x＝﹣1對稱，

∵點A的坐標為（﹣3，0），

∴點B的坐標為（1，0）；

（2）∵a＝1時，拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1，

∴＝﹣1，解得b＝2．

將B（1，0）代入y＝x2+2x+c，

得1+2+c＝0，解得c＝﹣3．

則二次函數的解析式為y＝x2+2x﹣3，

∴拋物線與y軸的交點C的坐標為（0，﹣3），OC＝3．

設P點坐標為（x，x2+2x﹣3），

∵S△POC＝4S△BOC，

∴×3×|x|＝4××3×1，

∴|x|＝4，x＝±4．

當x＝4時，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21；

當x＝﹣4時，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5．

∴點P的坐標為（4，21）或（﹣4，5）．