Question

【題目】已知函數y= （n為常數）

（1）若點（3，-7）在函數圖象上，求n的值；

（2）當y=1時，求自變量x的值（用含n的代數式表示）；

（3）若n-2≤x≤n+1，設函數的最小值為y0．當-5≤y0≤-2時，求n的取值范圍；

（4）直接寫出函數圖象與直線y=-x+4有兩個交點時，n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）n=4或n=1；（2）-1或n；（3）1≤n≤-2+2 ；（4）n≥3或n=-6．

【解析】

（1）分3＜n和3≥n兩種情況，把（3，-7）分別代入相應的函數關系式，解出n的值即可；

（2）把y=1分別代入兩個解析式得到方程并解出x的值，然后要檢驗解得的x值是否符合條件；

（3）先分別求出當和時，y的最小值，然后根據兩個最小值的大小關系分類討論，由題意從而可求出n的取值范圍；

（4）分別求出當x=n時，三個函數的函數值，然后通過比較大小，畫出函數的大致圖象，結合圖象求解即可．

（1）解：當3<n時，將（3，-7）代入y=x-nx-n中，

得-7=3-3n-n，解得n=4．

當3≥n時，將（3，-7）代入y=-x+（n-1）x+n+1中，

得-7=-32+3（n-1）+n+1，解得n=1．

綜上，n=4或n=1．

（2）解：當y=x-nx-n=1時，解得x1=-1，x2=n+1，

∵x<n，

∴x1=-1．

當y=-x+（n-1）x+n+1=1時解得x1=-1，x2=n．

綜上，y=1時，自變量x的值為-1或n．

（3）解：y=

對于,函數y=的對稱軸為直線x=,開口向上

①當＜,即n＞4時,

此時當時,y最小=

由n＞4可知: y最小=＜-8,顯然不符合題意;

②當,即0＜n≤4時,

此時當x=時, y最小=；

③當，即n＜0時，

此時當時,y最小=

由n＜0可知: y最小=＞0,顯然不符合題意;

對于，函數的對稱軸為直線x=,開口向小

①當，即n＜-2時，

此時當時，y最小==1，顯然不符合題意；

②當，即n≥-2時，

此時當時，y最小==-n-1；

綜上：當0＜n≤4且＜-n-1，即2＜n≤4時

-5≤y0=≤-2

解得：或

結合前提條件可得：；

當n≥-2且≥-n-1，即-2≤n≤2時

-5≤y0=-n-1≤-2

解得：1≤n≤4

結合前提條件可得：1≤n≤2

綜上可得：當-5≤y0≤-2時，1≤n；

（4）將x=n代入y=中，解得：y=

將x=n代入y= 中，解得：y=1

將x=n代入y= 中，解得：y=-n＋4，其中-n＋4一定大于

當＜1，即n＞-1時，圖象大致如下

由圖可知：當-n≤-n＋4≤1時，函數圖象與直線y=-x+4有兩個交點

解得n≥3；

當≥1，即n≤-1時，圖象大致如下

由圖可知：當直線y=-x+4與拋物線y= 有唯一交點時，函數圖象y與直線y=-x+4有兩個交點

聯立

整理，得

由題意可得：

解得：n1=-6，n2=2（不符合前提條件，舍去）

綜上：函數圖象y與直線y=-x+4有兩個交點時，n≥3或n=-6