Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BM切⊙O于點B，點P是⊙O上的一個動點（點P不與A，B兩點重合），連接AP，過點O作OQ∥AP交BM于點Q，過點P作PE⊥AB于點C，交QO的延長線于點E，連接PQ，OP，AE．

（1）求證：直線PQ為⊙O的切線；

（2）若直徑AB的長為4．

①當PE＝　 　時，四邊形BOPQ為正方形；

②當PE＝　 　時，四邊形AEOP為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①2；②2

【解析】

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OBQ＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，加上∠OPA＝∠OAP，則∠POQ＝∠BOQ，于是根據(jù)“SAS”可判斷△BOQ≌△POQ，得到∠OPQ＝∠OBQ＝90°，根據(jù)切線的判定即可得證；

（2）①由（1）得到∠OPQ＝∠OBQ＝90°，由于OB＝OP，所以當∠BOP＝90°，四邊形OPQB為正方形，此時點C、點E與點O重合，于是PE＝PO＝2；②根據(jù)菱形的判定，當OC＝AC，PC＝EC，四邊形AEOP為菱形，則OC＝OA＝1，然后利用勾股定理計算出PC，從而得到PE的長．

（1）證明：∵OQ∥AP，

∴∠BOQ＝∠OAP，∠POQ＝∠APO，

又∵OP＝OA，

∴∠APO＝∠OAP，

∴∠POQ＝∠BOQ，

在△BOQ與△POQ中，

，

∴△BOQ≌△POQ（SAS），

∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，

∵點P在⊙O上，

∴PQ是⊙O的切線；

（2）解：①∵∠OBQ＝∠OPQ＝90°，

∴當∠BOP＝90°，四邊形OPQB為矩形，

而OB＝OP，則四邊形OPQB為正方形，此時點C、點E與點O重合，PE＝PO＝AB＝2；

②∵PE⊥AB，

∴當OC＝AC，PC＝EC，四邊形AEOP為菱形，

∵OC＝OA＝1，

∴，

∴PE＝2PC＝2．

故答案為：2；2．