Question

已知：△ABC和△DBE均為等腰直角三角形．如圖（1），易證AD=CE且AD⊥CE．
（1）將△DBE繞點B順時針旋轉至圖（2）的位置時，線段AD和CE有怎樣的關系？
（2）將△DBE繞點B逆時針旋轉至圖（3）的位置時，線段AD和CE又有怎樣的關系？
請直接寫出你的猜想，并選擇其一加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形的性質可得AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=CE，全等三角形對應角相等可得∠BAD=∠BCE，延長AD交CE于F，然后求出∠BAD+∠BEC=90°，再求出∠AFE=90°，從而判斷出AD⊥CE；
（2）根據等腰直角三角形的性質可得AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，再求出∠ABD=∠CBE，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=CE，全等三角形對應角相等可得∠BAD=∠BCE，設AD、CE交點為F，然后求出∠ACF+∠CAF=∠ACB+∠CAB=90°，再求出∠AFC=90°，從而判斷出AD⊥CE．

解答：解：（1）AD=CE且AD⊥CE．
理由如下：∵△ABC和△DBE均為等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
在△ABD和△CBE中，

AB=BC ∠ABC=∠DBE BD=BE

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
延長AD交CE于F，
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠BAD+∠BEC=90°，
∴∠AFE=180°-90°=90°，
∴AD⊥CE；

（2）AD=CE且AD⊥CE．
理由如下：∵△ABC和△DBE均為等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，

AB=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
設AD、CE交點為F，
則∠ACF+∠CAF=∠ACB+∠CAB=90°，
∴∠AFC=180°-90°=90°，
∴AD⊥CE．

點評：本題考查了旋轉的性質，主要利用了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，此類題目，往往利用統一思路根據相同的條件求解，本題確定出三角形全等的條件是解題的關鍵．