Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，對角線AC平分角∠BAD，點P是△ABC內一點，連接PA、PB、PC，若PA=6，PB=8，PC=10，則菱形ABCD的面積等于_____．

Answer 1

【答案】50+72

【解析】

將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AM，連接PM，想辦法證明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解決問題．

將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AM，連接PM，作AH⊥BP于H．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵AM＝AP，∠MAP＝60°，

∴△AMP是等邊三角形，

∵∠MAP＝∠BAC，

∴∠MAB＝∠PAC，

∴△MAB≌△PAC，

∴BM＝PC＝10，

∵PM2＋PB2＝100，BM2＝100，

∴PM2＋PB2＝BM2，

∴∠MPB＝90°，

∵∠APM＝60°，

∴∠APB＝150°，∠APH＝30°，

∴AH＝PA＝3，PH＝，BH＝8＋，

∴AB2＝AH2＋BH2＝100＋48，

∴菱形ABCD的面積＝2△ABC的面積＝2××AB2＝50＋72，

故答案為：50＋72．