Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，已知 ， 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ， ， 是線段 上一點(diǎn)（與 ， 點(diǎn)不重合），拋物線 （ ）經(jīng)過(guò)點(diǎn) ， ，頂點(diǎn)為 ，拋物線 （ ）經(jīng)過(guò)點(diǎn) ， ，頂點(diǎn)為 ， ， 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) ．

（1）若 ， ，求拋物線 ， 的解析式；
（2）若 ， ，求 的值；
（3）是否存在這樣的實(shí)數(shù) （ ），無(wú)論 取何值，直線 與 都不可能互相垂直？若存在，請(qǐng)直接寫出 的兩個(gè)不同的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題可得：

解得 ：

所以拋物線L1的解析式為y=-x2-x-2.

同理，

解得 ：

所以拋物線L2的解析式為y= -x2+x+2.

（2）

解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H.

依題可得：

解得

∴拋物線L1的解析式為y=-x2+（m-4）x+4m.

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-,）.

∴DG==,AG=.

同理可得，拋物線L2的解析式為y=-x2+（m+4）x-4m

EH== ，BH=.

∵AF⊥BF，DG⊥x軸，EH⊥x軸

∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°

∴∠ADG=∠ABF=90°-∠BAF

∴△ADG∽△EBH

∴=.
∴=

∴m=2或m=-2.

（3）

解：存在，例如a=-,a=-.

【解析】（1）把a(bǔ)、m代入得到已知點(diǎn)，把點(diǎn)代入函數(shù)解析式構(gòu)成方程組，根據(jù)待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式.
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，把a(bǔ)=-1代入函數(shù)解析式，然后結(jié)合（m,0）和（-4，0）代入可解出函數(shù)解析式L1 ， 然后分別求出D點(diǎn)坐標(biāo)，得到DG,AG的長(zhǎng)，同理得到L2;求得EH,BH的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形相似的判定與性質(zhì)構(gòu)造方程求解即可.
（3）根據(jù)前面的解答，直接寫出即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．