Question

已知：拋物線y=-x²+bx+c過點A（-1，0）、B（-2，-5），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）某直線過點A（-1，0），且與拋物線只有一個交點，求此直線的解析式；
（3）直線l過點C，且l∥x軸，E為l上一個動點，EF⊥x軸于F．求使DE+EF+BF的和為最小值的E、F兩點的坐標，并直接寫出DE+EF+BF的最小值．

Answer 1

分析：（1）將A（-1，0）、B（-2，-5）兩點坐標代入y=-x²+bx+c即可求得該拋物線的解析式；
（2）設直線解析式為y=kx+m，要想使直線與拋物線只有一個交點，方程x²+（k-2）x+k-3=0有兩個相等的實數根，解方程即可得出直線的解析式；
（3）先求出D點坐標，將D向下平移3個單位得D′點，求出直線BD′的解析式，便可求出F點坐標，進而求得E點坐標，可得DE+EF+BF的最小值是3+3

5

．

解答：解：（1）根據題意，得：

-1-b+c=0 -4-2b+c=-5

，
解得：

b=2 c=3

，
∴所求拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）①若所求直線與y軸相交，設其解析式為y=kx+m（k≠0），
∵直線過A（-1，0），
∴m=k，
∴y=kx+k，
∵直線y=kx+k與拋物線y=-x²+2x+3只有一個交點，
∴方程kx+k=-x²+2x+3有兩個相等的實數根，
即方程x²+（k-2）x+k-3=0有兩個相等的實數根，
∴△=k²-8k+16=0，
∴k₁=k₂=4，
∴直線的解析式為y=4x+4，
②若所求直線與y軸平行，所求直線為x=-1，
綜上所述，所求直線的解析式為y=4x+4或x=-1；

（3）拋物線y=-x²+2x+3的頂點坐標為D（1，4），與y軸交點C（0，3）．
把點D（1，4）向下平移3個單位，得到D′（1，1），
連接BD′交x軸于點F，
過點F作FE⊥直線l于E，則E、F兩點為所求．
設直線BD′的解析式為：y=ax+n（a≠0）
則

-2a+n=-5 a+n=1

，
解得：

a=2 n=-1

，
∴直線BD′的解析式為：y=2x-1，
∴直線BD′與x軸的交點F（

1

2

，0），
∵EF⊥x軸，EF=3，
∴E（

1

2

，3），
∴DE+EF+BF的最小值是3+3

5

．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和方程有相等實數根的解及動點問題等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．