Question

【題目】已知：∠MON=36°，OE平分∠MON，點A，B分別是射線OM，OE，上的動點（A，B不與點O重合），點D是線段OB上的動點，連接AD并延長交射線ON于點C，設∠OAC=x，

（1）如圖1，若AB∥ON，則
①∠ABO的度數是；
②當∠BAD=∠ABD時，x=；
當∠BAD=∠BDA時，x=；
（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ABD中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）18°,126°,63°
（2）解：如圖2，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角．

∵AB⊥OM，∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=18°，∠ABO=72°，

①當AC在AB左側時：

若∠BAD=∠ABD=72°，則∠OAC=90°﹣72°=18°；

若∠BAD=∠BDA=（180°﹣72°）÷2=54°，則∠OAC=90°﹣54°=36°；

若∠ADB=∠ABD=72°，則∠BAD=36°，故∠OAC=90°﹣36°=54°；

②當AC在AB右側時：

∵∠ABE=108°，且三角形的內角和為180°，

∴只有∠BAD=∠BDA=（180°﹣108°）÷2=36°，則∠OAC=90°+36°=126°．

綜上所述，當x=18、36、54、126時，△ADB中有兩個相等的角．

【解析】解：（1）如圖1，①∵∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=∠BON=18°，

∵AB∥ON，

∴∠ABO=18°；②當∠BAD=∠ABD時，∠BAD=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°﹣18°×3=126°；③當∠BAD=∠BDA時，∵∠ABO=18°，

∴∠BAD=81°，∠AOB=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°﹣18°﹣18°﹣81°=63°，
（2）如圖2，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角．

∵AB⊥OM，∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=18°，∠ABO=72°，

①當AC在AB左側時：

若∠BAD=∠ABD=72°，則∠OAC=90°﹣72°=18°；

若∠BAD=∠BDA=（180°﹣72°）÷2=54°，則∠OAC=90°﹣54°=36°；

若∠ADB=∠ABD=72°，則∠BAD=36°，故∠OAC=90°﹣36°=54°；

②當AC在AB右側時：

∵∠ABE=108°，且三角形的內角和為180°，

∴只有∠BAD=∠BDA=（180°﹣108°）÷2=36°，則∠OAC=90°+36°=126°．

綜上所述，當x=18、36、54、126時，△ADB中有兩個相等的角．

所以答案是：（1）①18°；②126°；③63°；（2）當x=18、36、54、126時，△ADB中有兩個相等的角.
【考點精析】關于本題考查的平行線的性質，需要了解兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補才能得出正確答案．