Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中，AD=6，若OA、OB的長是關于 的一元二次方程 的兩個根，且OA＞OB

（1）求cos∠ABC的值。
（2）若E為x軸上的點，且 ，求出點E的坐標，并判斷△AOE與△DAO是否相似？請說明理由

Answer 1

【答案】
（1）解：解一元二次方程 得 ， ∵OA＞OB ∴OA＝4，OB＝3，

在 ，

∴ ，

∴cos∠ABC=

（2）解：設E（x，0），由題意得 解得 ∴E（ ，0）或（ ，0）， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴點D的坐標是（6，4） 設經過D、E兩點的直線的解析式為 若圖象過點（ ，0），（6，4） 則 ，解得 此時函數解析式為

若圖象過點（ ，0），（6，4） 則 ，解得 此時函數解析式為

在△AOE與△DAO中， ，

∴

又∵∠AOE=∠OAD=90°

∴△AOE∽△DAO。

【解析】（1）可先解一元二次方程求出OA，OB的長度，再利用勾股定理求出AB的長度，利用余弦定義計算得出結果；
（2）先根據三角形的面積求出OE，再轉化為坐標，有兩種情況，，并根據平行四邊形的對邊相等的性質求出點D的坐標，然后利用待定系數法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對應邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；