Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與⊙M相交于A、B、C、D四點，其中A、B兩點的坐標分別為（﹣1，0），（0，﹣2），點D在x軸上且AD為⊙M的直徑．點E是⊙M與y軸的另一個交點，過劣弧 上的點F作FH⊥AD于點H，且FH=1.5

（1）求點D的坐標及該拋物線的表達式；
（2）若點P是x軸上的一個動點，試求出△PEF的周長最小時點P的坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接BD，

∵AD是⊙M的直徑，∴∠ABD=90°

∴△AOB∽△ABD，

∴ = ，

在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，

根據勾股定理得：AB= ，

∴ ，

∴AD=5，

∴DO=AD﹣AO=5﹣1=4，

∴D（4，0），

把點A（﹣1，0）、B（0，﹣2）、D（4，0）代入y=ax2+bx+c可得：

，

解得： ，

∴拋物線表達式為：

（2）

解：連接FM，

在Rt△FHM中，FM= ，FH= ，

∴MH= =2，

OM=AM﹣OA= ﹣1= ，

∴OH=OM+MH= +2= ，

∴F（ ， ），

設直線BF的解析式為y=kx+b，

則： ，

∴直線BF的解析式為：y=x﹣2，

連接BF交x軸于點P，∵點E與點B關于x軸對稱，

∴點P即為所求，

當y=0時，x=2，

∴P（2，0）

（3）

解：如圖，CM=

拋物線 的對稱軸為直線x= ，

∵OM= ，∴點M在直線x= 上，

根據圓的對稱性可知，點C與點B關于直線x= 對稱，

∴點C（3，﹣2），

①當CM=MQ= 時，點Q可能在x軸上方，也可能在x軸下方，

∴Q1（ ， ），Q2（ ， ），

②當CM=CQ時，過點C作CN⊥MQ，

∴MN=NQ=2，∴MQ=4，

∴Q3（ ，﹣4），

③當CQ4=MQ4時，過點C作CR⊥MQ，Q4V⊥CM，

則：MV=CV= ，Q4V= ，

Rt△CRM∽Rt△Q4VM，

∴ ，

解得：MQ4= ，

∴Q4（ ，﹣ ）

綜上可知，存在四個點，即：

Q1（ ， ），Q2（ ， ），Q3（ ，﹣4），Q4（ ，﹣ ）

【解析】（1）首先根據圓的軸對稱性求出點D的坐標，將A、B、D三點代入，即可求出本題的答案；（2）由于點E與點B 關于x軸對稱，所以，連接BF，直線BF與x軸的交點，即為點P，據此即可得解；（3）從CM=MQ，CM=CQ，MQ=CQ三個方面進行分析，據此即可得解．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．