Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+1交y軸于點B，交x軸于點A，拋物線y=﹣ x2+bx+c經過點B，與直線y=﹣x+1交于點C（4，﹣2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，橫坐標為m的點M在直線BC上方的拋物線上，過點M作ME∥y軸交直線BC于點E，以ME為直徑的圓交直線BC于另一點D，當點E在x軸上時，求△DEM的周長．

（3）將△AOB繞坐標平面內的某一點按順時針方向旋轉90°，得到△A1O1B1，點A，O，B的對應點分別是點A1，O1，B1，若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點A1的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+1；（2）（3）（， ）或（﹣， ）

【解析】分析：(1)根據點B，C的坐標，作待定系數法求拋物線的解析式；(2)畫出當點E在x軸上時的圖形，點E運動到點A的位置，即可求出ME的長，解直角△DEM，求得DE，DM；(3)設點A1的橫坐標為x，則點B1的橫坐標為x＋1，由△A1O1B1中點的位置關系，分兩種情況討論，分別畫出圖形，根據兩個點在拋物線上的位置列方程求解.

詳解：(1)∵直線y＝﹣x＋1交y軸于點B，∴B(0，1)，

∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點B和點C(4，﹣2)．

∴，解得，

∴拋物線的解析式為：y＝－x2＋x＋1；

(2)如圖1，∵直線y＝x＋1交x軸于點A，

當y＝0時， x＋1＝0，解得x＝，∴A(，0)，∴OA＝，

在Rt△AOB中，∵OB＝1，∴AB＝，

∴sin∠ABO＝，cos∠ABO＝，

∵ME∥x軸，∴∠DEM＝∠ABO，

∵以ME為直徑的圓交直線BC于另一點D，∴∠EDM＝90°，

∴DE＝MEcos∠DEM＝ME，DM＝MEsin∠DEM＝ME，

當點E在x軸上時，E和A重合，則m＝OA＝，

當x＝時，y＝，∴ME＝，

∴DE＝，DM＝，

∴△DEM的周長＝DE＋DM＋ME＝；

(3)由旋轉可知：O1A1⊥x軸，O1B1⊥y軸，設點A1的橫坐標為x，則點B1的橫坐標為x＋1，

∵O1A1⊥x軸，∴點O1，A1不可能同時落在拋物線上，分以下兩種情況：

①如圖2，當點O1，B1同時落在拋物線上時，

點O1，B1的縱坐標相等，

∴，解得：x＝，

此時點A1的坐標為(， )，

②如圖3，當點A1，B1同時落在拋物線上時，

點B1的縱坐標比點A1的縱坐標大，

，

解得：x＝，

此時A1(， )，

綜上所述，點A1(， )或(， )．