Question

伽菲爾德（ Garfield，1881年任美國第20屆總統）利用“三個直角三角形的面積和等于一個直角梯形的面積”（如圖所示）證明了勾股定理，請你應用此圖證明勾股定理．

Answer 1

分析：以a，b長為上下底邊，以a+b長為高，作梯形ABDE，即AB⊥BD，ED⊥BD，AB=a，ED=b，在其高BD上再取一點C，使BC=b，連結AC，EC，求出△ACE是等腰直角三角形，根據梯形面積公式求出梯形面積，根據三角形面積公式求出梯形面積，即可得出等式，即可得出答案．

解答：證明：如圖，以a，b長為上下底邊，以a+b長為高，作梯形ABDE，
即AB⊥BD，ED⊥BD，AB=a，ED=b，在其高BD上再取一點C，使BC=b，連結AC，EC，
在△ABC和△CDE中，

AB=CD ∠B=∠D BC=DE

，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴AC=CE，∠BAC=∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=180°-90°=90°，
∴△ACE為等腰直角三角形，設AC=c，
由梯形ABDE的面積公式得：SABDE=

1

2

(AB+ED)?BD=

1

2

(a+b)(a+b)=

1

2

(a+b)2，
梯形ABDE可分成如圖所示的三個直角三角形，其面積又可以表示成：S_△ABC+S_△CDE+S_△ACE=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c2，
∴

1

2

(a+b)2=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c2，
∴a²+b²=c²．
即在直角△ABC中有a²+b²=c²（勾股定理）．

點評：本題考查了梯形面積，等腰直角三角形的性質和判定，三角形面積，全等三角形的性質和判定的應用，關鍵是能構造出能證出勾股定理的圖形．