Question

如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△AFG繞點旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為點D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合）．
（1）請在圖1中找出兩對相似而不全等的三角形，并選擇其中一對進行證明；
（2）△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖2）．在邊BC上找一點D使BD=CE，求出點D的坐標，并通過計算驗證BD²+CE²=DE²；
（3）在旋轉過程中，（2）中的等量關系BD²+CE²=DE²是否始終成立？若成立請證明你的結論；若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA．
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA．
又∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA．

（2）∵BD=CE，
∴BE=CD．
∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，
∴△ABE≌△ACD．
∴AD=AE．
∵△BAE∽△CDA，
∴CD=AB=

2

，易得CO=1．
∴OD=

2

-1，那么點D的坐標為（1-

2

，0）．
∵BD=2-

2

，CE=2-

2

，DE=2-2BD=2

2

-2，
∴BD²+CE²=DE²．

（3）成立．
證明：將△ACE繞點A順時針旋轉90°至△ABH的位置，則CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋轉角∠EAH=90°．
連接HD，在△EAD和△HAD中，
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD，
∴△EAD≌△HAD．
∴DH=DE．
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+CE²=DH²即BD²+CE²=DE²．