Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、B．拋物線y=﹣ +n的頂點P在直線y=﹣x+4上，與y軸交于點C（點P、C不與點B重合），以BC為邊作矩形BCDE，且CD=2，點P、D在y軸的同側．
（1）n=（用含m的代數式表示），點C的縱坐標是（用含m的代數式表示）．
（2）當點P在矩形BCDE的邊DE上，且在第一象限時，求拋物線對應的函數表達式．
（3）設矩形BCDE的周長為d（d＞0），求d與m之間的函數表達式．
（4）直接寫出矩形BCDE有兩個頂點落在拋物線上時m的值．

Answer 1

【答案】
（1）﹣m+4；﹣ m2﹣m+4
（2）

解：∵四邊形BCDE是矩形，

∴DE∥y軸．

∵CD=2，

∴當x=2時，y=2．

∴DE與AB的交點坐標為（2，2）．

∴當點P在矩形BCDE的邊DE上時，拋物線的頂點P坐標為（2，2）．

∴拋物線對應的函數表達式為

（3）

解：∵直線y=﹣x+4與y軸交于點B，

∴點B的坐標是（0，4）．

當點B與點C重合時， ．

解得m1=0，m2=﹣3．

i）當m＜﹣3或m＞0時，如圖①、②， ． ．

ii）當﹣3＜m＜0時，如圖③， ．

（4）

解：如圖④⑤，點C、D在拋物線上時，由CD=2可知對稱軸為：x=±1，即m=±1；

如圖⑥⑦，點C、E在拋物線上時，由B（0，4）和CD=2得：E（﹣2，4）

則4=﹣ （﹣2﹣m）2+（﹣m+4），解得： 、 ．

綜上所述：m=1、m=﹣1、 、 ．

【解析】解：（1）y=﹣ （x﹣m）2+n=﹣ x2+ mx﹣ m2+n，
∴P（m，n），
∵點P在直線y=﹣x+4上，
∴n=﹣m+4，
當x=0時，y=﹣ m2+n=﹣ m2﹣m+4，
即點C的縱坐標為：﹣ m2﹣m+4，
所以答案是：﹣m+4，﹣ m2﹣m+4；