Question

【題目】Rt△ABC中，∠ABC=90°，在直線AB上取一點M，使AM=BC，過點A作AE⊥AB且AE=BM，連接EC，再過點A作AN∥EC，交直線CM、CB于點F、N．

（1）如圖1，若點M在線段AB邊上時，求∠AFM的度數；

（2）如圖2，若點M在線段BA的延長線上時，且∠CMB=15°，求∠AFM的度數．

Answer 1

【答案】(1) 45°；(2) 120°．

【解析】

（1）如圖1，連接EM．根據AE⊥AB，AE=MB，AM=CB，可求出△AEM≌△BMC；根據直角三角形的性質可知△EMC是等腰直角三角形；再結合平行線的性質可知∠AFM=45°．

（2）如圖2，連接EM．同（1）△AEM≌△BMC，則EM=MC，∠MEA=∠CMB=15°．易證△EMC是等邊三角形，故∠ECM=60°，又由AN∥CE得到：∠AFM=∠ECM=60°．

（1）連接EM．

∵AE⊥AB，∴∠EAM=∠B=90°．

在△AEM與△BMC中，

，

∴△AEM≌△BMC（SAS）．

∴∠AEM=∠BMC，EM=MC．

∵∠AEM+∠AME=90°，

∴∠BMC+∠AME=90．

∴∠EMC=90°．

∴△EMC是等腰直角三角形．

∴∠MCE=45°

∵AN∥CE，

∴∠AFM=∠MCE=45°；

（2）如圖2，連接ME．

同（1）△AEM≌△BMC（SAS），則EM=MC，∠MEA=∠CMB=15°．

又∵∠MEA+∠EMA=90°，

∴∠EMC=60°，

∴△EMC是等邊三角形，

∴∠ECM=60°，

∵AN∥CE

∴∠AFM+∠ECM=180°，

∴∠AFM=120°．