Question

18、（1）是否有滿足方程x²-y²=1998的整數解x和y？如果有，求出方程的解；如果沒有，說明理由．
（2）一個立方體的頂點標上+1或一1，面上標上一個數，它等于這個面的4個頂點處的數的乘積，這樣所標的14個數的和能否為0？

Answer 1

分析：（1）x²-y²=（x+y）（x-y）因為（x+y），（x-y）同奇偶所以（x+y）（x-y）要末是奇數，要末是4的倍數但1998被4除余2如果所標的14個數的和能否為0．則有7個+1，7個-1．但可以知道，1個面有5個數，無論怎么放，都只有2或4個-1．所以不可能出現7個-1．所標的14個數的和不能為0．

解答：解：（1）x²-y²=1998，1998=2×3×3×3×37
若x，y同為偶數，則（x+y），（x-y）同為偶數，→（x+y）（x-y）=4×…不合
若x，y同為奇數，則（x+y），（x-y）同為偶數，→（x+y）（x-y）=4×…不合
若x，y一奇一偶，則（x+y），（x-y）同為奇數，→（x+y）（x-y）=不含因數2
∴方程x²-y²=1998沒有整數解．
999²-998²=（999+998）（999-998）=1997×1=1997
1000²-999²=（1000+999）（1000-999）=1999×1=1999
1997&lt；1998&lt；1999，
∴方程x²-y²=1998沒有整數解
解：（2）所標的14個數的和能否為0．則有7個+1，7個-1．但可以知道，1個面有5個數，無論怎么放，都只有2或4個-1．
所以不可能出現7個-1．
故：所標的14個數的和不能為0．

點評：此題考查了學生對數的奇偶性問題的掌握．關鍵是深刻理解奇偶數的意義．