Question

【題目】定義：（一）如果兩個(gè)函數(shù)y1，y2，存在x取同一個(gè)值，使得y1＝y2，那么稱y1，y2為“合作函數(shù)”，稱對應(yīng)x的值為y1，y2的“合作點(diǎn)”；

（二）如果兩個(gè)函數(shù)為y1，y2為“合作函數(shù)”，那么y1+y2的最大值稱為y1，y2的“共贏值”．

（1）判斷函數(shù)y＝x+2m與y＝是否為“合作函數(shù)”，如果是，請求出m＝1時(shí)它們的合作點(diǎn)；如果不是，請說明理由；

（2）判斷函數(shù)y＝x+2m與y＝3x﹣1（|x|≤2）是否為“合作函數(shù)”，如果是，請求出合作點(diǎn)；如果不是，請說明理由；

（3）已知函數(shù)y＝x+2m與y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函數(shù)”，且有唯一合作點(diǎn)．

①求出m的取值范圍；

②若它們的“共贏值”為24，試求出m的值．

Answer 1

【答案】（1）是 “合作函數(shù)”，“合作點(diǎn)”為x＝2或x＝﹣4；（2）當(dāng)﹣≤m≤時(shí)，函數(shù)y＝x+2m與y＝3x﹣1（|x|≤2）是“合作函數(shù)”；當(dāng)m＞或m＜﹣時(shí)，函數(shù)y＝x+2m與y＝3x﹣1（|x|≤2）不是“合作函數(shù)”；（3）①﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②m＝2﹣或m＝﹣3+．

【解析】

(1)由于y＝x+2m與y＝都經(jīng)過第一、第三象限，所以兩個(gè)函數(shù)有公共點(diǎn)，可以判斷兩個(gè)函數(shù)是“合作函數(shù)”，再聯(lián)立x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，即可求“合作點(diǎn)”；

(2)假設(shè)是“合作函數(shù)”，可求“合作點(diǎn)”為x＝m+，再由|x|≤2，可得當(dāng)﹣≤m≤時(shí)，是“合作函數(shù)”；當(dāng)m＞或m＜﹣時(shí)，不是“合作函數(shù)”；

(3)①由已知可得：x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），解得x＝m+3或x＝m﹣1，再由已知可得當(dāng)0≤m+3≤5時(shí)，﹣3≤m≤2，當(dāng)0≤m﹣1≤5時(shí)，1≤m≤6，因?yàn)橹挥幸粋�(gè)“合作點(diǎn)”則﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②y＝x+2m在0≤x≤5的最大值為5+2m，當(dāng)﹣3≤m＜1時(shí)，函數(shù)的對稱軸﹣≤m+＜，此時(shí)當(dāng)x＝5時(shí)有最大值m2﹣6m+16；當(dāng)2＜m≤6時(shí)，對稱軸＜m+≤，當(dāng)x＝0時(shí)有最大值m2+4m﹣3；再由“共贏值”即可求m值．

解；(1)∵y＝x+2m是經(jīng)過第一、第三象限的直線，y＝是經(jīng)過第一、第三象限的雙曲線，

∴兩函數(shù)有公共點(diǎn)，

∴存在x取同一個(gè)值，使得y1＝y2，

∴函數(shù)y＝x+2m與y＝是“合作函數(shù)”；

當(dāng)m＝1時(shí)，y＝x+2，

∴x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，

∴“合作點(diǎn)”為x＝2或x＝﹣4；

(2)假設(shè)函數(shù)y＝x+2m與y＝3x﹣1是“合作函數(shù)”，

∴x+2m＝3x﹣1，

∴x＝m+，

∵|x|≤2，

∴﹣2≤m+≤2，

∴﹣≤m≤，

∴當(dāng)﹣≤m≤時(shí)，函數(shù)y＝x+2m與y＝3x﹣1（|x|≤2）是“合作函數(shù)”；當(dāng)m＞或m＜﹣時(shí)，函數(shù)y＝x+2m與y＝3x﹣1（|x|≤2）不是“合作函數(shù)”；

(3)①∵函數(shù)y＝x+2m與y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函數(shù)”，

∴x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），

∴x2﹣（2m+2）x+（m2+2m﹣3）＝0，

∴x＝m+3或x＝m﹣1，

∵0≤x≤5時(shí)有唯一合作點(diǎn)，

當(dāng)0≤m+3≤5時(shí)，﹣3≤m≤2，

當(dāng)0≤m﹣1≤5時(shí)，1≤m≤6，

∴﹣3≤m＜1或2＜m≤6時(shí)，滿足題意；

②y＝x+2m在0≤x≤5的最大值為5+2m，

y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）的對稱軸為x＝m+，

當(dāng)﹣3≤m＜1時(shí)，則﹣≤m+＜，

當(dāng)x＝5時(shí)有最大值，最大值為m2﹣6m+16，

∴5+2m+m2﹣6m+17＝24，

解得m＝2+或m＝2﹣，

∴m＝2﹣；

當(dāng)2＜m≤6時(shí)，則＜m+≤，

當(dāng)x＝0時(shí)有最大值，最大值為m2+4m﹣3，

∴5+2m+m2+4m﹣3＝24，

解得m＝﹣3+或m＝﹣3﹣，

∴m＝﹣3+；

綜上所述：m＝2﹣或m＝﹣3+．