Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的任意點(diǎn)，如果滿足 (x≥0，a為常數(shù))，那么我們稱這樣的點(diǎn)叫做“特征點(diǎn)”．

（1）當(dāng)2≤a≤3時(shí)，

①在點(diǎn)中，滿足此條件的特征點(diǎn)為__________________；

②⊙W的圓心為，半徑為1，如果⊙W上始終存在滿足條件的特征點(diǎn)，請(qǐng)畫(huà)出示意圖，并直接寫(xiě)出m的取值范圍；

（2）已知函數(shù)，請(qǐng)利用特征點(diǎn)求出該函數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）最小值為2．

【解析】

（1）①根據(jù)“特征點(diǎn)”的定義判斷即可；

②如圖2中，當(dāng)⊙W1與直線y=x+2相切時(shí)，，當(dāng)⊙W2與直線y=x+3相切時(shí)，，結(jié)合圖象，⊙W與圖中陰影部分有交點(diǎn)時(shí)，⊙W上存在滿足條件的特征點(diǎn)．

（2）特征點(diǎn)的圖象是由原點(diǎn)向外擴(kuò)大，當(dāng)與反比例函數(shù)的圖象第一次有交點(diǎn)時(shí)，的值最�。ㄈ鐖D3中）．

解：（1）①∵1+2=3，1+3=4，2.5+0=2.5，

又∵2≤a≤3，

∴A，C是特征點(diǎn)，

故答案為：；

②如圖1，∵2≤a≤3，

∴直線y=x+2和直線y=x+3之間的區(qū)域（包括兩直線）上的點(diǎn)都為“特征點(diǎn)”，

直線y=x+2和直線y=x+3分別與x軸的交點(diǎn)為，，

當(dāng)⊙W1與直線y=x+2相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，

此時(shí)，，，則為等腰直角三角形，

∵⊙W1半徑為1，即，

∴，則，

∴，

當(dāng)⊙W2與直線y=x+3相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為N，

此時(shí)，，，則為等腰直角三角形，

同理得：，則，

∴，

觀察圖象可知滿足條件的m取值范圍為：；

（2）根據(jù)，在第一象限畫(huà)出的圖象，

∴在此坐標(biāo)系中圖象上的點(diǎn)就是，

∵特征點(diǎn)滿足（x≥0，a為常數(shù)），

∴在此圖象上對(duì)應(yīng)的就是，

∴將特征點(diǎn)的圖象由原點(diǎn)向外擴(kuò)大，當(dāng)與反比例函數(shù)的圖象第一次有交點(diǎn)時(shí)，出現(xiàn)最小值，

如圖2，由x>0可將整理得：，

∴，解得：，（舍去），

∴，

∴，即的最小值為2．