Question

如圖，矩形ABCD中，E是BD上的一點，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，
點G是BC、AE延長線的交點，AG與CD相交于點F。
求證：四邊形ABCD是正方形；
當AE=2EF時，判斷FG與EF有何數量關系？并證明你的結論。

Answer 1

（1）證明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，
∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE。
∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE。
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD。
∴∠CBE=∠ABE=45°。∴△ABD與△BCD是等腰直角三角形。
∴AB=AD=BC=CD，∴四邊形ABCD是正方形。
（2）解：當AE=2EF時，FG=3EF。證明如下：
∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE。
∵AE=2EF，∴BE：DE=AE：EF=2。∴BC：AD=BE：DE=2，即BG=2AD。
∵BC=AD，∴CG=AD。
∵△ADF∽△GCF，∴FG：AF=CG：AD，即FG=AF=AE+EF=3EF。

矩形的性質，三角形外角的性質，等腰直角三角形的判定和性質，正方形的判定，相似三角形的判定和性質。
【分析】（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性質，即可得∠CBE=∠ABE，又由四邊形ABCD是矩形，即可證得△ABD與△BCD是等腰直角三角形，繼而證得四邊形ABCD是正方形。
（2）由題意易證得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得FG=3EF。