Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）頂點為C（1，1）且過原點O．過拋物線上一點P（x，y）向直線y=

5

4

作垂線，垂足為M，連FM（如圖）．
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直線x=1上有一點F(1，

3

4

)，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標，并證明此時△PFM為正三角形；
（3）對拋物線上任意一點P，是否總存在一點N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在請求出t值，若不存在請說明理由．

Answer 1

（1）拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）頂點為C（1，1）且過原點O，
可得-

b

2a

=1，

4ac-b2

4a

=1，c=0，
∴a=-1，b=2，c=0．

（2）由（1）知拋物線的解析式為y=-x²+2x，
故設P點的坐標為（m，-m²+2m），則M點的坐標（m，

5

4

），
∵△PFM是以PM為底邊的等腰三角形
∴PF=MF，即（m-1）²+（-m²+2m-

3

4

）²=（m-1）²+（

3

4

-

5

4

）²
∴-m²+2m-

3

4

=

1

2

或-m²+2m-

3

4

=-

1

2

，
①當-m²+2m-

3

4

=

1

2

時，即-4m²+8m-5=0
∵△=64-80=-16＜0
∴此式無解
②當-m²+2m-

3

4

=-

1

2

時，即m²-2m=-

1

4

∴m=1+

3

2

或m=1-

3

2

Ⅰ、當m=1+

3

2

時，P點的坐標為（1+

3

2

，

1

4

），M點的坐標為（1+

3

2

，

5

4

）
Ⅱ、當m=1-

3

2

時，P點的坐標為（1-

3

2

，

1

4

），M點的坐標為（1-

3

2

，

5

4

），
經過計算可知PF=PM，
∴△MPF為正三角形，
∴P點坐標為：（1+

3

2

，

1

4

）或（1-

3

2

，

1

4

）．

（3）當t=

3

4

時，即N與F重合時PM=PN恒成立．
證明：過P作PH與直線x=1的垂線，垂足為H，
在Rt△PNH中，
PN²=（x-1）²+（t-y）²=x²-2x+1+t²-2ty+y²，
PM²=（

5

4

-y）²=y²-

5

2

y+

25

16

，
P是拋物線上的點，
∴y=-x²+2x；∴PN²=1-y+t²-2ty+y²=y²-

5

2

y+

25

16

，
∴-

3

2

y+2ty+

9

16

-t²=0，y（2t-

3

2

）+（

9

16

-t²）=0對任意y恒成立．
∴2t-

3

2

=0且

9

16

-t²=0，
∴t=

3

4

，
故t=

3

4

時，PM=PN恒成立．
∴存在這樣的點．