Question

已知拋物線y=x²-4x+3與x軸交于兩點A、B（A在B左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）對于任意實數(shù)m，點M（m，-3）是否在該拋物線上？請說明理由；
（2）求∠ABC的度數(shù)；
（3）若點P在拋物線上，且使得△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，試求出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）假如點M（m，-3）是在該拋物線上，
∴-3=m²-4m+3，
∴m²-4m+6=0．
∴△=（-4）²-4×1×6=-8＜0，
∴此方程無實數(shù)解，
∴對于任意實數(shù)m，點M（m，-3）是不在該拋物線上．

（2）當(dāng)y=0時，x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3，由于點A在點B的左側(cè)，
∴A（1，0），B（3，0）．
當(dāng)x=0時，y=3，
∴C（0，3），
∴OB=OC=3．
∵∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
即∠ABC=45°．

（3）假設(shè)存在△PBC是以BC為直角邊的直角三角形．當(dāng)∠PBC=90°時，∵∠ABC=45°，
∴∠PBO=45°，
∴P（2，-1）；
當(dāng)∠PCB=90°時，設(shè)直線PC交x軸于Q，
∵∠ABC=45°，
∴∠BQC=45°，
∴OQ=OC=3，Q（-3，0），
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，則，

3=b 0=-3k+b

，
∴

k=1 b=3

，
∴直線的解析式為：y=x+3．
∵點P在拋物線上，
∴

y=x+3 y=x2-4x+3

，
解得．x₁=0（舍去），x₂=5
∴當(dāng)x=5時，y=8，此時P₁（5，8）
∴存在點P（2，-1）或（5，8）使得△PBC是以BC為直角邊的直角三角形．