Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C，且其對稱軸l為x=﹣1，點P是拋物線上B，C之間的一個動點（點P不與點B，C重合）．

（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）小唐探究點P的位置時發現：當動點N在對稱軸l上時，存在PB⊥NB，且PB=NB的關系，請求出點P的坐標；
（3）是否存在點P使得四邊形PBAC的面積最大？若存在，請求出四邊形PBAC面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（1，0），對稱軸l為x=﹣1，

∴B（﹣3，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3；

（2）

解：如圖1，過點P作PM⊥x軸于點M，

設拋物線對稱軸l交x軸于點Q．

∵PB⊥NB，∴∠PBN=90°，

∴∠PBM+∠NBQ=90°．

∵∠PMB=90°，

∴∠PBM+∠BPM=90°．

∴∠BPM=∠NBQ．

又∵∠BMP=∠BNQ=90°，PB=NB，

∴△BPM≌△NBQ．

∴PM=BQ．

∵拋物線y=x2+2x﹣3與x軸交于點A（1，0）和點B，且對稱軸為x=﹣1，

∴點B的坐標為（﹣3，0），點Q的坐標為（﹣1，0）．∴BQ=2．∴PM=BQ=2．

∵點P是拋物線y=x2+2x﹣3上B、C之間的一個動點，

∴結合圖象可知點P的縱坐標為﹣2，

將y=﹣2代入y=x2+2x﹣3，得﹣2=x2+2x﹣3，

解得x1=﹣1﹣ ，x2=﹣1+ （舍去），

∴此時點P的坐標為（﹣1﹣ ，﹣2）

（3）

解：存在．

如圖2，連接AC．

可設點P的坐標為（x，y）（﹣3＜x＜0），則y=x2+2x﹣3，

∵點A（1，0），∴OA=1．

∵點C是拋物線與y軸的交點，

∴令x=0，得y=﹣3．即點C（0，﹣3）．

∴OC=3．

由（2）可知S四邊形PBAC=S△BPM+S四邊形PMOC+S△AOC

= BMPM+ （PM+OC）OM+ OAOC

= （x+3）（﹣y）+ （﹣y+3）（﹣x）+ ×1×3

=﹣ y﹣ x+ ．

將y=x2+2x﹣3代入可得S四邊形PBAC=﹣ （x2+2x﹣3）﹣ x+ =﹣ （x+ ）2+ ．

∵﹣ ＜0，﹣3＜x＜0，

∴當x=﹣ 時，S四邊形PBAC有最大值 ．此時，y=x2+2x﹣3=﹣ ．

∴當點P的坐標為（﹣ ，﹣ ）時，四邊形PBAC的面積最大，最大值為 ．

【解析】（1）由對稱軸可求得B點坐標，結合A、B兩點坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）過點P作PM⊥x軸于點M，設拋物線對稱軸l交x軸于點Q．可證明△BPM≌△NBQ，則可求得PM=BQ，可求得P點的縱坐標，利用拋物線解析式可求得P點坐標；（3）連接AC，設出P點坐標，則可表示出四邊形PBAC的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值．