Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點C順時針旋轉90°至CE位置，連接AE．

（1）求證：AB⊥AE；
（2）若BC²=AD•AB，求證：四邊形ADCE為正方形．

Answer 1

（1）根據旋轉的性質得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根據“SAS”可判斷△BCD≌△ACE，則∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到結論。
（2）由于BC=AC，則AC²=AD•AB，根據相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，則∠CDA=∠BCA=90°，可判斷四邊形ADCE為矩形，利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形。

分析：（1）根據旋轉的性質得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根據“SAS”可判斷△BCD≌△ACE，則∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到結論。
（2）由于BC=AC，則AC²=AD•AB，根據相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，則∠CDA=∠BCA=90°，可判斷四邊形ADCE為矩形，利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形。
證明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°。
∵線段CD繞點C順時針旋轉90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE。
∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE。
∵在△BCD和△ACE中，，
∴△BCD≌△ACE（SAS）。∴∠B=∠CAE=45°。
∴∠BAE=45°+45°=90°。∴AB⊥AE。
（2）∵BC²=AD•AB，BC=AC，∴AC²=AD•AB。∴。
∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB。∴∠CDA=∠BCA=90°。
∵∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四邊形ADCE為矩形。
∵CD=CE，∴四邊形ADCE為正方形。