Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90⁰，AC=，BC=3，△DEF是邊長為a（a為小于3的常數）的等邊三角形，將△DEF沿AC方向平移，使點D在線段AC上，DE∥AB，設△DEF與△ABC重疊部分的周長為T。

（1）求證：點E到AC的距離為一常數；
（2）若AD=，當a=2時，求T的值；
（3）若點D運動到AC的中點處，請用含a的代數式表示T。

Answer 1

（1）由銳角三角函數和平行的性質可證得。
（2）
（3）

分析：（1）由銳角三角函數和平行的性質可證得。
（2）應用銳角三角函數求得三邊長即可。
（3）分點H在線段AC上和點H在線段AC的延長線上兩種情況討論即可。
解：（1）證明：如圖，過點E作EH⊥AC于點H，則EH即為點E到AC的距離。

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90⁰，AC=，BC=3，
∴。∴∠A=60⁰。
∵DE∥AB，∴∠EDH=∠A=60⁰。
∵DE=a（a為小于3的常數），
∴（常數）。
∴點E到AC的距離為一常數。
（2）當a=2時，，。
∵AD=，∴AH=。∴此時，點H在在線段AC上。
∴此時，△DEF與△ABC重疊部分就是△DEF。
∴。
（3）當點D運動到AC的中點處時， ，
由得，，解得。
∴分兩種情況：
①當時，點H在線段AC上，此時，△DEF與△ABC重疊部分就是△DEF。
∴。
②當時，點H在線段AC的延長線上，如圖，此時，△DEF與△ABC重疊部分就是△DCG。

根據三角形中位線定理，點G是BC的中點，
∴CD=，CG=,DG=。
∴。
綜上所述，。