Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AD＝2，AB＝6，∠DAB＝60°，E為邊CD上一點．

（1）尺規作圖：延長AE，過點C作射線AE的垂線，垂足為F（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）當點E在線段CD上（不與C，D重合）運動時，求EFAE的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用尺規作CF⊥AE交AE的延長線于F即可．

（2）作AH⊥CD交CD的延長線于H．設EC＝x．解直角三角形求出DH，證明△CFE∽△AHE，推出＝，推出EFAE＝CEEH＝x（7﹣x）＝﹣x2+7x＝﹣（x﹣）2+，再利用二次函數的性質求解即可．

解：（1）如圖，射線CF即為所求．

（2）作AH⊥CD交CD的延長線于H．設EC＝x．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD＝6，

∴∠BAD＝∠ADH＝60°，

∵∠H＝90°，

∴∠DAH＝30°，

∴DH＝AD＝1，

∴CH＝CD+DH＝6+1＝7，

∵∠CFE＝∠H＝90°，∠CEF＝∠AEH，

∴△CFE∽△AHE，

∴＝，

∴EFAE＝CEEH＝x（7﹣x）＝﹣x2+7x＝﹣（x﹣）2+，

∵﹣1＜0，

∴EFAE的最大值為．