Question

如圖所示，已知：在直角三角形ABC中，∠BAC＝，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于F，交AC于E，若EG⊥BC于G，連結FG，求證：四邊形AEGF是菱形．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵∠BAC＝(已知)，∴∠BAD＋∠DAC＝． 　　又∵AD⊥BC(已知)，∴∠DAC＋∠C＝(直角三角形兩銳角互余)． 　　∵∠AFE＝∠BAD＋∠ABE， 　　∠AEF＝∠EBC＋∠C(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和)． 　　而∠ABE＝∠EBC(角平分線的定義)， 　　∴∠AEF＝∠AFE(等式的性質)， 　　∴AF＝AE(等角對等邊)． 　　又∵BE是∠ABC的平分線， 　　∴AE＝EG(角平分線上的點到角的兩邊的距離相等)， 　　∴AF＝EG(等量代換)． 　　而AD⊥BC，EG⊥BC(已知)， 　　∴AD∥EG(垂直于同一條直線的兩條直線互相平行)． 　　而AF＝EG， 　　∴四邊形AFGE是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)． 　　又∵AE＝AF 　　故四邊形AFGE是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)． 　　解析：要證明四邊形AEGF是菱形，可先證明它是平行四邊形，那么由已知條件易證AE＝EG，再由角之間的關系可得到AF＝AE，即AF＝EG，又因為AF∥EG，故四邊形AFGE是平行四邊形，再由AF＝AE可知，四邊形AFGE還是菱形． 　　說明：判定一個四邊形是特殊的平行四邊形，如菱形、矩形等，要逐步突破，先證出它是平行四邊形，然后再證明其他的必要條件，從而實現目標．