Question

【題目】已知：在△ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為 （即cosC= ），則AC邊上的中線長是 ．

Answer 1

【答案】 a或 a
【解析】解：分兩種情況： ①如圖1．

作△ABC的高AD，BE為AC邊的中線．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC= ，
∴CD= a，AD= a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD= a，
∴BC=BD+CD= a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2﹣2BCECcosC
= a2+ a2﹣2× a× a×
= a2 ，
∴BE= a；
②如圖2．

作△ABC的高AD，BE為AC邊的中線．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC= ，
∴CD= a，AD= a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD= a，
∴BC=CD﹣BD= a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2﹣2BCECcosC
= a2+ a2﹣2× a× a×
= a2 ，
∴BE= a．
綜上可知AC邊上的中線長是 a或 a．
所以答案是： a或 a．
【考點精析】本題主要考查了解直角三角形的相關知識點，需要掌握解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能正確解答此題．