Question

如圖，AB是半圓O的直徑，且AB＝，矩形CDEF內(nèi)接于半圓，點(diǎn)C，D在AB上，點(diǎn)E，F在半圓上．

（1）當(dāng)矩形CDEF相鄰兩邊FC︰CD＝︰2時(shí)，求弧AF的度數(shù)；
（2）當(dāng)四邊形CDEF是正方形時(shí)：
①試求正方形CDEF的邊長(zhǎng)；
②若點(diǎn)G，M在⊙O上， GH⊥AB于H，MN⊥AB于N，且△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，求HN的長(zhǎng)．  

Answer 1

（1）弧AF的度數(shù)為60°（2）①4 ②

試題分析：（1）連結(jié)FO，根據(jù)圓的對(duì)稱性，矩形CDEF內(nèi)接于半圓可得CO＝OD，
∴R t△COF中，FC︰CD＝︰1，∴∠FOC=60°
∴弧AF的度數(shù)為60°

（2）① ∵四邊形CDEF是正方形，∴FC=2CO
∵FC²＋CO²=，解得CO＝2，∴CF＝4，正方形的邊長(zhǎng)為4
② 連結(jié)OG，OM，∵△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，∴DH＝HG，HN＝MN
在R t △OGH中，，設(shè)DH＝x，則
解得x＝2 或x＝－4（舍去）
在R t △OMN中，，設(shè)HN＝y，
∴，解得（舍去負(fù)值）
∴
點(diǎn)評(píng)：該題看似復(fù)雜，其實(shí)所用知識(shí)點(diǎn)都是很常見(jiàn)的，求弧的度數(shù)主要是看該弧所對(duì)圓心角的度數(shù)，直角三角形中的邊長(zhǎng)應(yīng)多考慮用勾股定理。