Question

如圖①，正方形ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發沿A?B?C?D勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，當P點到達D點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．
（1）當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標x（長度單位）關于運動時間t（秒）的函數圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；
（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；
（3）在（1）中當t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標；
（4）如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A?B?C?D勻速運動時，OP與PQ能否相等？若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）Q（1，0）（1分）Q的圖象是一條直線，且過點（11，0）．
且點P運動速度每秒鐘1個單位長度．（2分）

（2）過點B作BF⊥y軸于點F，BE⊥x軸于點E，則BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中，AB=

82+62

=10，（3分）
過點C作CG⊥x軸于點G，與FB的延長線交于點H．
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴△ABF≌△BCH．
∴BH=AF=6 CH=BF=8．
∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．
∴所求C點的坐標為（14，12）．（4分）

（3）過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，
則△APM∽△ABF．
∴

AP

AB

=

AM

AF

=

MP

BF

，
∴

t

10

=

AM

6

=

MP

8

．
∴AM=

3

5

t，PM=

4

5

t，
∴PN=OM=10-

3

5

t，ON=PM=

4

5

t．
設△OPQ的面積為S（平方單位），
∴S=

1

2

×（10-

3

5

t）（1+t）=5+

47

10

t-

3

10

t²（0≤t≤10），（5分）
說明：未注明自變量的取值范圍不扣分．
∵a=-

3

10

＜0，
∴當t=-

47 10

2×(- 3 10 )

=

47

6

時，△OPQ的面積最大．（6分）
此時P的坐標為（

94

15

，

53

10

）．（7分）

（4）OP與PQ相等，組成等腰三角形，即當P點的橫坐標等于Q點的橫坐標的一半時，
當P在BC上時，8+

3

5

（t-10）=

1

2

（t+1），解得：t=-15（舍去）
當P在CD上時，14-

4

5

（t-20）=

1

2

（t+1），解得：t=

295

13

，
即當t=

295

13

時，OP與PQ相等．
當P在BA上時，t=

5

3

，OP與PQ相等，（9分）
∴當t=

295

13

或t=

5

3

時，OP與PQ相等．