Question

已知：如圖，AB為⊙O的弦，OD⊥AB，垂足為點D，DO的延長線交⊙O于點C．過點C作CE⊥AO，分別與AB、AO的延長線相交于E、F兩點．CD = 8，．

求：（1）弦AB的長；
（2）△CDE的面積．

Answer 1

（1）8（2）24

解：（1）設⊙O的半徑OA = r，那么OD =" 8" –r．
由 OD⊥AB，得  ∠ADO = 90°．
于是，由 ，即得 ．
解得 r = 5．……………………………………………………………（2分）
∴ OA = 5，OD = 3．
利用勾股定理，得 ．………………………（2分）
∵ OD⊥AB，O為圓心，∴ AB = 2AD = 8．………………………（1分）
（2）∵ CE⊥AO，∴  ∠AFE =∠CDE = 90°．
于是，由  ∠A +∠AEF = 90°，∠C +∠CED = 90°，
得  ∠A =∠C．…………………………………………………………（1分）
又∵  ∠ADO =∠CDE = 90°，
∴  △AOD∽△CED．
∴ ．………………………………………………（2分）
∵ ，
∴ ．………………………………………………（2分）
（1）設圓的半徑為r,則OD =" 8" –r．利用三角函數和勾股定理求解；
（2）證得△AOD∽△CED，得出面積之比等于相似比的平方。