Question

在平面直角坐標系中，直線（k為常數且k≠0）分別交x軸、y軸于點A、B，⊙O半徑為個單位長度．
⑴如圖甲，若點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，且OA=OB．
①求k的值；
②若b=4，點P為直線上的動點，過點P作⊙O的切線PC、PD，切點分別為C、D，當PC⊥PD時，求點P的坐標．
⑵若，直線將圓周分成兩段弧長之比為1∶2，求b的值．（圖乙供選用）
     

Answer 1

（1）
①k＝－1
②P的坐標為（1，3）或（3，1）
（2）b的值為或

⑴①根據題意得：B的坐標為（0，b），∴OA=OB=b，
∴A的坐標為（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.
②過P作x軸的垂線，垂足為F，連結OD.
∵PC、PD是⊙O的兩條切線，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，
∴OD＝PD＝，OP=.
∵P在直線y＝－x＋4上，
設P（m，－m＋4），則OF=m，PF=－m＋4，
∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2，
∴ m2＋ (－m＋4)2＝（）2，
解得m=1或3，
∴P的坐標為（1，3）或（3，1）

⑵分兩種情形，y＝－x＋，或y＝－x－。
直線將圓周分成兩段弧長之比為1∶2，可知其所對圓心角為120°，
如圖，畫出弦心距OC，可得弦心距OC=，
又∵直線中∴直線與x軸交角的正切值為，即，∴AC=，進而可得AO=，即直線與與x軸交于點（，0）．
所以直線與y軸交于點（，0），所以b的值為．
當直線與x軸、y軸的負半軸相交，同理可求得b的值為．
綜合以上得：b的值為或．