Question

如圖，已知點P的坐標為（2，1），拋物線y=x²沿OP方向平移，頂點B從O點開始平移到P點結束，設頂點B的橫坐標為m．

（1）用m的代數式表示點B的坐標；
（2）設直線x=2與拋物線交于點A，與x軸交于點F，平移過程中拋物線的對稱軸交x軸于點E．
①當四邊形ABEP是平行四邊形時，求此時拋物線的解析式；
②探究：當m為何值時，以AB為邊的正方形ABCD的頂點C落在坐標軸上？

Answer 1

分析：（1）利用三角形相似，可以求出點B的坐標
（2）利用二次函數平移前后a不變和勾股定理求出．

解答：（1）解：在△BOE和△POM中，△BOE∽△POM，
∴

OM

OE

=

PM

BE

，
∵頂點B的橫坐標為m，
點P的坐標為（2，1），
∴BE=

m

2

，
∴點B的坐標為（m，

m

2

）；

（2）解：如圖1，①∵BE=

m

2

，
假設四邊形ABEP是平行四邊形，
∴AP=BE=

m

2

，A（2，1+

m

2

），
根據二次函數的頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
點B的坐標為（m，

m

2

）也是二次函數的頂點坐標，
根據題意得，其中a=1，
解得：b=-2m，c=m2+

m

2

，
把點A（2，1+

m

2

）代入y=x²+bx+c得；
1+

m

2

=4-4m+m2+

m

2

，
解得：m=1或3，
∵m≤2，
∴m=1．
∴解析式為：y=x²-2x+

3

2

；

②解：以AB為邊的正方形ABCD的頂點C落在坐標軸上，分兩種情況：
第一種：如圖2，C點落在x軸上，如圖①．過點A作AG⊥BE于G．
易證△AGB≌△BEC，∴AG=BE，
∴2-m=

m

2

，解得m=

4

3

；
第二種：如圖3，C點落在y軸上，如圖②．過點B作GH∥x軸交y軸于G，交PA于H．易證△ABH≌△BCG，∴AH=BG，
∴（2-m）²+

m

2

-

m

2

=m
解得m=1或4．
∵m≤2，
∴m=1．
綜上可知，當m=1或

4

3

時，以AB為邊的正方形ABCD的頂點C落在坐標軸上．

點評：此題主要考查了相似三角形的性質，以及二次函數的平移問題，綜合性較強．