Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（4，0），B（﹣1，0）兩點，過點A的直線y=﹣x+4交拋物線于點C．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）在直線AC上有一動點E，當點E在某個位置時，使△BDE的周長最小，求此時E點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于兩點A（4，0），B（﹣1，0），

∴ ，解得 ，

∴此拋物線的解析式為：y=x2﹣3x﹣4

（2）解：如圖1，作點B關于直線AC的對稱點F，連接DF交AC于點E，

由（1）得，拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4，

∴D（0，﹣4），

∵直線y=﹣x+4交拋物線于點C，

∴ 解得， 或 ，

∴C（﹣2，6），

∵A（4，0），

∵直線AC解析式為y=﹣x+4，直線BF⊥AC，且B（﹣1，0），

∴直線BF解析式為y=x+1，

設點F（m，m+1），

∴G（ ， ），

∵點G在直線AC上，

∴﹣ +4= ，

∴m=4，

∴F（4，5），

∵D（0，﹣4），

∴直線DF解析式為y= x﹣4，

解 得

∴直線DF和直線AC的交點E（ ， ）．

【解析】（1）直接把點A（4，0），B（﹣1，0）代入拋物線y=ax2+bx﹣4求出a、b的值，進而可得出拋物線的解析式；（2）先判斷出周長最小時BE⊥AC，即作點B關于直線AC的對稱點F，連接DF，交AC于點E，聯立方程組即可．
【考點精析】利用拋物線與坐標軸的交點和軸對稱-最短路線問題對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．