Question

已知一次函數(shù)y₁=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)（m≠0）的圖象交于A（-2，1）、B（1，n）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象的示意圖，并觀察圖象回答：當(dāng)x為何值時(shí)，y₁＞y₂？______
（3）已知點(diǎn)C（1，0），求出△ABC的面積．
（4）在BC上是否存在一點(diǎn)E，使得直線AE將△ABC的面積二等分？如果存在請(qǐng)你畫出這條直線，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）點(diǎn)A（-2，1）在反比例函數(shù)y=的圖象上，
∴m=（-2）×1=-2，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y₂=-；
∵點(diǎn)B（1，n）也在反比例函數(shù)y₂=-的圖象上，
∴n=-2即B（1，-2），
把點(diǎn)A（-2，1），點(diǎn)B（1，-2）代入一次函數(shù)y₁=kx+b中，得
解得，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y₁=-x-1；
∴反比例函數(shù)解析式為y₂=-，一次函數(shù)得到解析式為y₁=-x-1，B（1，-2）；

（2）函數(shù)圖象如圖所示：
∵由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＜-2或0＜x＜1時(shí)，一次函數(shù)
的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
∴當(dāng)x＜-2或0＜x＜1時(shí)y₁＞y₂．
故答案為：x＜-2或0＜x＜1；

（3）由圖可知，S_△ABC=×2×3=3；

（4）存在．
設(shè)線段BC兩點(diǎn)的中點(diǎn)為E，
∵B（1，-2），C（1，0），
∴E（1，-1）．
∵由于等底等高的三角形面積相等，
∴S_△AEC=S_△AEB=S_△ABC．
分析：（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出m的值，也就求出了反比例函數(shù)解析式，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出n的值，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合可直接得出結(jié)論；
（3）直接根據(jù)三角形的面積可得出結(jié)論；
（4）設(shè)線段BC兩點(diǎn)的中點(diǎn)為E，求出E點(diǎn)坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、利用數(shù)形結(jié)合求不等式的取值范圍等知識(shí)，難度適中．