Question

（2012•赤峰）閱讀材料：
（1）對于任意兩個數a、b的大小比較，有下面的方法：
當a-b＞0時，一定有a＞b；
當a-b=0時，一定有a=b；
當a-b＜0時，一定有a＜b．
反過來也成立．因此，我們把這種比較兩個數大小的方法叫做“求差法”．
（2）對于比較兩個正數a、b的大小時，我們還可以用它們的平方進行比較：
∵a²-b²=（a+b）（a-b），a+b＞0
∴（a²-b²）與（a-b）的符號相同
當a²-b²＞0時，a-b＞0，得a＞b
當a²-b²=0時，a-b=0，得a=b
當a²-b²＜0時，a-b＜0，得a＜b
解決下列實際問題：
（1）課堂上，老師讓同學們制作幾種幾何體，張麗同學用了3張A4紙，7張B5紙；李明同學用了2張A4紙，8張B5紙．設每張A4紙的面積為x，每張B5紙的面積為y，且x＞y，張麗同學的用紙總面積為W₁，李明同學的用紙總面積為W₂．回答下列問題：
①W₁=

3x+7y

（用x、y的式子表示）
W₂=

2x+8y

（用x、y的式子表示）
②請你分析誰用的紙面積最大．
（2）如圖1所示，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，已知A、B到l的距離分別是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，現設計兩種方案：

方案一：如圖2所示，AP⊥l于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a₁=AB+AP．
方案二：如圖3所示，點A′與點A關于l對稱，A′B與l相交于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a₂=AP+BP．
①在方案一中，a₁=

（3+x）

km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a₂=

x2+48

km（用含x的式子表示）；
③請你分析要使鋪設的輸氣管道較短，應選擇方案一還是方案二．

Answer 1

分析：（1）①根據題意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W₁-W₂=x-y，根據x和y的大小比較即可；
（2）①把AB和AP的值代入即可；②過B作BM⊥AC于M，求出AM，根據勾股定理求出BM．再根據勾股定理求出BA′，即可得出答案；
③求出a12-a22=6x-39，分別求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．

解答：（1）解：①W₁=3x+7y，W₂=2x+8y，
故答案為：3x+7y，2x+8y．
      
②解：W₁-W₂=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，
∵x＞y，
∴x-y＞0，
∴W₁-W₂＞0，
得W₁＞W_2，
所以張麗同學用紙的總面積大． 
  
（2）①解：a₁=AB+AP=x+3，
故答案為：x+3．
          
②解：過B作BM⊥AC于M，
則AM=4-3=1，
在△ABM中，由勾股定理得：BM²=AB²-1²=x²-1，
在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=

A′M2+BM2

=

x2+48

，
故答案為：

x2+48

．

③解：a12-a22=（x+3）²-（

x2+48

）²=x²+6x+9-（x²+48）=6x-39，
當a12-a22＞0（即a₁-a₂＞0，a₁＞a₂）時，6x-39＞0，解得x＞6.5，
當a12-a22=0（即a₁-a₂=0，a₁=a₂）時，6x-39=0，解得x=6.5，
當a12-a22＜0（即a₁-a₂＜0，a₁＜a₂）時，6x-39＜0，解得x＜6.5，
綜上所述
當x＞6.5時，選擇方案二，輸氣管道較短，
當x=6.5時，兩種方案一樣，
當0＜x＜6.5時，選擇方案一，輸氣管道較短．

點評：本題考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題，整式的運算等知識點的應用，通過做此題培養了學生的計算能力和閱讀能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．