Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線經過點（2，3），對稱軸為直線x =1.

（1）求拋物線的表達式；

（2）如果垂直于y軸的直線l與拋物線交于兩點A（， ），B（， ），其中， ，與y軸交于點C，求BCAC的值；

（3）將拋物線向上或向下平移，使新拋物線的頂點落在x軸上，原拋物線上一點P平移后對應點為點Q，如果OP=OQ，直接寫出點Q的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）BC-AC=2；（3）點Q的坐標為（）或（）．

【解析】試題分析：（1）由拋物線經過點（2，3），對稱軸為直線x =1，利用待定系數法即可得；

（2）如圖，設l與對稱軸交于點M，根據拋物線的對稱性，可知AM=BM， AM=AC+CM，BC=BM+CM，推導即可得；

（3）由OP=OQ可知P、Q兩點關于x軸對稱，求出平移后的解析式，表示出P、Q的坐標，根據關于x軸對稱的點的性質即可求得 .

試題解析：（1） ，解得，

∴；

（2）如圖，設l與對稱軸交于點M，則有CM=1，

由拋物線的對稱性可得，BM= AM，

又∵BC=BM+CM， AM=AC+CM，

∴BC-AC= BM+MC-AC= AM+MC-AC= AC+CM+MC-AC=2CM=2；

（3）=-（x-1）2+4，

所以平移后的拋物線解析式為： -4=-x2+2x-1，

設P（m，-m2+2m+3），則平移后對應點Q（m，-m2+2m-1），

因為OP=OQ，所以P、Q兩點關于x軸對稱，

所以：(-m2+2m+3）+（-m2+2m-1）=0，

解得：m1=，m2=，

所以：點Q的坐標為（）或（）．