Question

已知a、b是正數，且a+b=2，則

a2+1

+

b2+4

的最小值=______．

Answer 1

∵a+b=2，
∴b=2-a，代入

a2+1

+

b2+4

，
得：

a2+1

+

(2-a)2+22

，
構造如下圖形，如圖，其中ED=2，AE=2，BD=1，AE⊥l，BD⊥l，
作出A關于直線l的對稱點C，連接BC與直線l交于點P，此時AP+PB最短．
延長BD，過C作CF垂直于BC的延長線，垂足為F，
設PD=a，可得ED=2-a，
在Rt△AEP中，根據勾股定理得：
AP=

(2-a)2+22

，BP=

a2+1

，
則

a2+1

+

(2-a)2+22

=AP+BP，
當B、P、C三點共線時，因為直線l為線段AC的垂直平分線，
則AP+BP=CP+PB=BC，此時BC的長即為所求式子的最小值，
此時在Rt△CBF中，DF=EC=AE=2，故BF=BD+DF=1+2=3，CF=ED=2，
由勾股定理可求得BC=

22+(2+1)2

=

13

，
則

a2+1

+

b2+4

的最小值為

13

．