Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC 的頂點坐標分別為A（－2，0）、B（4，0）、C（0，2）．
（1）請用尺規作出△ABC的外接圓⊙P（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求出（1）中外接圓圓心P的坐標；
（3）⊙P上是否存在一點Q，使得△QBC與△AOC相似？如果存在，請直接寫出點Q 坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)作圖見解析；（2）點P坐標為（1，-1）．（3）⊙P上存在一點Q（-2，-2），（2，-4），使得△QBC與△AOC相似．

試題分析：（1）作出AC與BC線段垂直平分線得出交點即為圓心，進而利用圓心到線段端點距離長為半徑求出即可；
（2）過點P做PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，連接PC、PE，在Rt△BPD中，BP²=x²+3²，在Rt△CEP中，CP²=（x+2）²+1²，由BP=CP，求出x的值，即可得出P點坐標；
（3）利用相似三角形的判定得出△Q₁BC∽△ACO，進而結合圓周角定理得出Q點坐標．
（1）如圖1所示：

（2）如圖2，過點P做PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，連接PC、PE．
∵PD⊥AB，∴AD=BD=3．
∵OB=4，∴OD=OB-BD=1．
∴PE=OD=1．
設DP=x，則OE=PD=x．
在Rt△BPD中，BP²=x²+3²．
在Rt△CEP中，CP²=（x+2）²+1²．
∵BP=CP，
∴x²+3²=（x+2）²+1²．
解得：x=1．
∴點P坐標為（1，-1）．  
（3）如圖2，連接BP并延長到⊙P于一點Q₁，連接CQ₁，

則BQ₁是直徑，
∴∠Q₁CB=90°，
又∵∠CAB=∠CQ₁B，
∴△Q₁BC∽△ACO，
此時連接AQ₁則∠Q₁AB=90°，
∴Q₁橫坐標為：-2，
∵AB=6，BQ₁=2BP=2，
∴AQ₁=2，
∴Q₁（-2，-2），
同理構造直角三角形CFQ₂，
可得出：CF=6，CQ₂=2，
∴FQ₂=2，FO=4，
則Q₂（2，-4），
綜上所述：⊙P上存在一點Q（-2，-2），（2，-4），使得△QBC與△AOC相似．