Question

【題目】如圖，A，B兩點在x軸的正半軸上運動，四邊形ABCD是矩形，C，D兩點在拋物線y=﹣x2+8x上．

（1）若OA=1，求矩形ABCD的周長；

（2）設OA=m（0＜m＜4），求出四邊形ABCD的周長L關于m的函數表達式；

（3）在（2）的條件下求L的最大值．

Answer 1

【答案】（1）26；（2）L=﹣2m2+12m+16，（3）34．

【解析】（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得D點坐標，根據矩形的周長公式，可得答案

（2）求L與m的函數解析式就是把m當作已知量，求L，先求AD，它的長就是D點的縱坐標，再把D點縱坐標代入函數解析式求C點橫坐標，C點橫坐標與D點橫坐標的差就是線段CD的長，用L=2（AD+CD），建立函數關系式．

（3）根據二次函數的性質，可得答案．

（1）當x=1時，y=-1+8=7，即AD=7，D點坐標為（1，7）．

當y=7時，-x2+8x=7，

解得x1=1，x2=7，

即AB=7-1=6，

矩形ABCD的周長=2（AD+AB）=2（7+6）=26；

（2）把x=m代入拋物線y=-x2+8x中，得AD=-m2+8m

把y=-m2+8m代入拋物線y=-m2+8m中，得

-m2+8m=-x2+8x

解得x1=m，x2=8-m

∴C的橫坐標是8-m，故AB=8-m-m=8-2m

∴矩形的周長是L=2（-m2+8m）+2（8-2m）

即L=-2m2+12m+16．

（3）L=-2m2+12m+16化為頂點式，得

L=-2（m-3）2+34 （0＜m＜4），

當m=3時，L最大=34，

在（2）的條件下求L的最大值是34．