Question

【題目】如圖，已知AB是半圓O的直徑，OC⊥AB交半圓于點C，D是射線OC上一點，連結AD交半圓O于點E，連結BE，CE．

（1）求證：EC平分∠BED．

（2）當EB＝ED時，求證：AE＝CE．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由AB是半圓O的直徑，得到∠AEB=90°，求得∠DEB=90°．再根據圓周角定理得出∠BEC＝45°從而推出∠BEC=∠DEC，于是得到結論；
（2）連結BC根據全等三角形的性質得到∠CBE=∠CDE．根據圓周角定理得到∠AOE=∠COE，于是得到AE=CE．

解：（1）∵AB是半圓O的直徑，

∴∠AEB＝90°，

∴∠DEB＝90°．

∵OC⊥AB，

∴∠AOC＝∠BOC＝90°，

∴∠BEC＝45°，

∴∠DEC＝45°．

∴∠BEC＝∠DEC，

即EC平分∠BEC；

（2）連結BC，OE，

∵BE＝DE，∠BEC＝∠DEC，EC＝EC，

在△BEC與△DEC中，，

∴△BEC≌△DEC，

∴∠CBE＝∠CDE．

∵∠CDE＝90°﹣∠A＝∠ABE，

∴∠ABE＝∠CBE．

∵∠AOE=2∠ABE，∠COE＝2∠CBE．

∴∠AOE＝∠COE，

∴AE＝CE．