Question

已知：如圖，點O₂是⊙O₁上一點，⊙O₂與⊙O₁相交于A、D兩點，BC⊥AD，垂足為D，分別交⊙O₁、⊙O₂于B、C兩點，延長DO₂交⊙O₂于E，交BA延長線于F，BO₂交AD于G，連接AD．
（1）求證：∠BGD=∠C；
（2）若∠DO₂C=45°，求證：AD=AF；
（3）若BF=6CD，且線段BD、BF的長是關于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的兩個實數根，求BD、BF的長．

Answer 1

（1）證明：∵BC⊥AD于D，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
∴AB、AC分別為⊙O₁、⊙O₂的直徑，
∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°，
∴∠BGD=∠C；

（2）證明：∵∠DO₂C=45°，
∴∠ABD=45°，
∵O₂D=O₂C，
∴∠C=∠O₂DC=

1

2

（180-∠DO₂C）=67.5°，
∴∠4=22.5°，
∵∠O₂DC=∠ABD+∠F，
∴∠F=∠4=22.5°，
∴AD=AF；

（3）∵BF=6CD，
∴設CD=k，則BF=6k，
連接AE，則AE⊥AD，
∴AE∥BC，
∴△FAE∽△FBD，
∴

AE

BD

=

AF

BF

，
∴AE•BF=BD•AF，
又∵在△AO₂E和△DO₂C中，AO=DO₂，∠AOE=∠DOC，O₂E=O₂C，
∴△AO₂E≌△DO₂C，
∴AE=CD=k，
∴6k²=BD•AF=（BC-CD）（BF-AB），
∵∠BO₂A=90°，O₂A=O₂C，
∴BC=AB，
∴6k²=（BC-k）（6k-BC），
∴BC²-7kBC+12k²=0，
解得：BC=3k，或BC=4k，
當BC=3k時，BD=2k，
∵BD、BF的長是關于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的兩個實數根，
∴由根與系數的關系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2，BD•BF=12k²=4m²+8，
∴k=

m

2

+

1

4

，
把BD=2k代入方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0可得，4m²-12m+29=0，
∵△=（-12）²-4×4×29=-320＜0，此方程無實數根，
∴BC=3k舍去，
當BC=4k時，BD=3k，
∴3k+6k=4m+218k²=4m²+8，
整理，得：m²-8m+16=0，解得：m₁=m₂=4，
∴原方程可化為x²-18x+72=0，
解得：x₁=6，x₂=12，
∴BD=6，BF=12．