Question

（2013•黔東南州一模）如圖，等邊△ABC的面積為

3

，順次連接△ABC各邊的中點得△A₁B₁C₁，順次連接△A₁B₁C₁各邊的中點得△A₂B₂C₂，…，如此下去得△A_nB_nC_n，則△A_nB_nC_n的周長為

3

2n-1

．

Answer 1

分析：根據三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，可得后一個三角形的周長等于前一個三角形的周長的一半，根據此規律進行解答．

解答：解：∵等邊△ABC的面積為

3

，
∴AB=BC，∠B=60°
∴

1

2

AB•BCsin60°=

3

，則AB=BC=2
∴△ABC的周長為6．
∵順次連接△ABC各邊的中點得△A₁B₁C₁，
∴△A₁B₁C₁的周長=

1

2

×6=3，
同理：△A₂B₂C₂的周長=

1

2

△A₁B₁C₁的周長=

1

2

×3=

3

2

，
…
以此類推，△A_nB_nC_n的周長=

1

2

△A_n-1B_n-1C_n-1的周長=

3

2n-1

．
故答案是：

3

2n-1

．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，推出后一個三角形的周長等于前一個三角形周長的一半是解題的關鍵．