Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC延長線上的一點，且CE=BD，連接DE交BC于點P．

（1）求證：PE=PD；

（2）若CE：AC=1：5，BC=10，求BP的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)6.

【解析】

（1）過點D作DF∥AC交BC于點F,根據平行線的性質可得:∠ACB=∠DFB,∠FDP=∠E,根據AB=AC,可得∠ACB=∠ABC,進而可得∠ABC=∠DFB,因此DF=DB,再根據CE=BD,可得CE=DF,根據∠DPF=∠CPE,利用全等三角形的判定定理可得:△ECP≌△DFP,根據全等三角形性質可得PE=PD,

(2)根據CE=BD,AC=AB,CE:AC=1:5,可得BD:AB=1:5,

根據DF∥AC,可證得△BDF∽△BAC,根據相似三角形的性質可得,

由BC=10,代入上式可得BF=2,FC=8,根據△DFP≌△ECP,可得FP=PC,因此PF=4，繼而可得BP=BF+FP=6．

（1）證明:過點D作DF∥AC交BC于點F,

∴∠ACB=∠DFB,∠FDP=∠E,

∵AB=AC（已知）,

∴∠ACB=∠ABC,

∴∠ABC=∠DFB,

∴DF=DB,

又∵CE=BD（已知）,

∴CE=DF,

又∵∠DPF=∠CPE,

∴△ECP≌△DFP,

∴PE=PD,

（2）解:∵CE=BD,AC=AB,CE:AC=1:5（已知）,

∴BD:AB=1:5,

∵DF∥AC,

∴△BDF∽△BAC,

∴,

∵BC=10,

∴BF=2,FC=8,

∵△DFP≌△ECP,

∴FP=PC,

∴PF=4，

則BP=BF+FP=6．