Question

【題目】如圖，已知直線與拋物線相交于，兩點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在直線下方的拋物線上求點，求的面積等于20．

（3）若在拋物線上，作軸于點，若和相似，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（－2，3）或（4，0）；（3）或或或

【解析】

(1)根據拋物線相交于，兩點，用待定系數法列方程組求解即可得到答案；

(2)作PD//y軸，交AB于點D，設，則，把BD的長度表示出來，再根據三角形的面積公式列等式，求解即可得到答案；

(3)先用勾股定理的逆定理證明∠AOB=，再分CPO∽OBA 或者CPO∽OBA兩種情況討論即可得到答案；

解：（1）∵拋物線相交于，兩點，

將A（－4，8），B(6，3)代入，聯立得：

，

解得，

所求的拋物線的解析式為：．

（2）如圖，作PD//y軸，交AB于點D，

設，則，

∴ ，

，

∴，

解得：，，

當時，，

當時，，

故所求的點P為（－2，3）或（4，0）．

（3）設，如圖，

根據勾股定理得到：，

，，

∴，

∴∠AOB=（勾股定理的逆定理），

∠AOB=∠PCO，

當時，CPO∽OBA ．

即：，

整理得：，

解方程：，得（舍去），，此時P點坐標為；

解方程：，得（舍去），，此時P點坐標為．

當時，CPO∽OBA ．

解即：，

整理得：，

解方程：，得（舍去），，此時P點坐標為．

解方程：，得（舍去），，此時P點坐標．

綜上所述，所求點P的坐標為：或或或．