Question

閱讀理解：對于任意正實數a、b，∵≥0，∴≥0，

∴≥，只有當a＝b時，等號成立．

結論：在≥（a、b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥，只有當a＝b時，a+b有最小值．

（1）根據上述內容，回答下列問題：現要制作一個長方形（或正方形），使鏡框四周圍成的面積為4，請設計出一種方案，使鏡框的周長最小。

設鏡框的一邊長為m（m＞0），另一邊的為，考慮何時時周長最小。

∵m＞0， (定值)，由以上結論可得：

只有當m＝       時，鏡框周長有最小值是       ；

（2）探索應用：如圖，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P為雙曲線（x＞0）上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時△OAB與△OCD的關系．

 

Answer 1

【答案】

（1）2，4

   （2）設P()

   可得：

因為：（為定值）

所以：

此時：，即：，得：

當：，S最小為24，

此時，P(3,4)，

OC=OA,OD=OB,∠COD=∠AOB

△OAB與△OCD全等。

【解析】（1）根據式子特殊性可以分別求出m的值以及分式的最值；

（2）設P()，把四邊形ABCD分割成四個小三角形，用含x的代數式表示出四邊形ABCD的面積，根據式子特殊性可以分別求出代數式的最小值，并可得到點P的坐標，從而判斷出△OAB與△OCD的關系．