Question

如圖,已知二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點(B在A的左側),頂點為C, 點D（1,m）在此二次函數圖象的對稱軸上,過點D作y軸的垂線,交對稱軸右側的拋物線于E點．

（1）求此二次函數的解析式和點C的坐標；
（2）當點D的坐標為（1,1）時,連接BD、．求證：平分；
（3）點G在拋物線的對稱軸上且位于第一象限,若以A、C、G為頂點的三角形與以G、D、E為頂點的三角形相似,求點E的橫坐標．

Answer 1

（1）二次函數的解析式為；C（1,-4）；
（2）平分；
（3）E點的橫坐標為或或或..

試題分析：解：（1）∵點D（1,m）在圖象的對稱軸上,
∴．
∴．
∴二次函數的解析式為．
∴C（1,-4）．  
（2）∵D（1,1）,且DE垂直于y軸,
∴點E的縱坐標為1,DE平行于x軸．
∴．
令,則,解得．
∵點E位于對稱軸右側,
∴E．
∴D E =．
令,則,求得點A的坐標為（3,0）,點B的坐標為（-1,0）．
∴BD =．
∴BD =" D" E．
∴．
∴．
∴平分．
（3）∵以A、C、G為頂點的三角形與以G、D、E為頂點的三角形相似,
且△GDE為直角三角形,
∴△ACG為直角三角形．  
∵G在拋物線對稱軸上且位于第一象限,
∴．
∵A（3,0）C（1,-4）,,
∴求得G點坐標為（1,1）．
∴AG=,AC=．
∴AC="2" AG.
∴GD="2" DE或 DE ="2" GD.
設（t >1） ,
.當點D在點G的上方時,則DE="t" -1,
GD = ()=.
i.如圖,當 GD="2" DE時,

則有, = 2(t-1).
解得,.(舍負)
ii. 如圖3當DE =2GD時,

則有,t -1=2().
解得,.(舍負)
. 當點D在點G的下方時,則DE="t" -1,
GD="1-" ()= -.
i. 如圖,當 GD="2" DE時,

則有, =2（t -1）.
解得,.(舍負) 
ii. 如圖,當DE ="2" GD時,

則有,t-1=2（）.
解得,.(舍負)  
綜上,E點的橫坐標為或或或.