Question

某賓館有50個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天180元時，房間會全部住滿．當每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑．賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用．根據規定，每個房間每天的房價不得高于340元．設每個房間的房價每天增加x元（x為10的整數倍）．
(1)設一天訂住的房間數為y，直接寫出y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；
(2)設賓館一天的利潤為w元，求w與x的函數關系式；
(3)一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？

Answer 1

（1），且（0≤x≤160，且x為10的正整數倍）；（2）；（3）訂住34個房間時，賓館每天利潤最大，最大利潤為10880元．

試題分析：本題是二次函數的應用，特別容易出現的錯誤是在求最值時不考慮x的范圍，直接求頂點坐標．（1）理解每個房間的房價每增加x元，則減少房間間，則可以得到y與x之間的關系；（2）每個房間訂住后每間的利潤是房價減去20元，每間的利潤與所訂的房間數的積就是利潤；（3）求出二次函數的對稱軸，根據二次函數的增減性以及x的范圍即可求解．
試題解析：
解：（1）由題意得：，且（0≤x≤160，且x為10的正整數倍）
（2），即
（3）w=
拋物線的對稱軸是：，拋物線的開口向下，當x＜170時，w隨x的增大而增大，但0≤x≤160，因而當x=160時，即房價是340元時，利潤最大，
此時一天訂住的房間數是：50-（160÷10）=34間，
最大利潤是：34×（340-20）=10880元．
答：一天訂住34個房間時，賓館每天利潤最大，最大利潤為10880元．