Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．

（1）求點A、點B、點C的坐標；

（2）求直線BD的解析式；

（3）當點P在線段OB上運動時，直線l交BD于點M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形；

（4）在點P的運動過程中，是否存在點Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）；（3）m=2；（4）Q的坐標為（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據函數解析式列方程即可得到結論；

（2）由點C與點D關于x軸對稱，得到D（0，﹣2），解方程即可得到結論；

（3）如圖1所示：根據平行四邊形的性質得到QM=CD，設點Q的坐標為（m，），則M（m，），列方程即可得到結論；

（4）設點Q的坐標為（m，），分兩種情況：①當∠QBD=90°時，根據勾股定理列方程求得m=3，m=4（不合題意，舍去），②當∠QDB=90°時，根據勾股定理列方程求得m=8，m=﹣1，于是得到結論．

試題解析：（1）∵令x=0得；y=2，∴C（0，2）．

∵令y=0得：，解得：，，∴A（﹣1，0），B（4，0）．

（2）∵點C與點D關于x軸對稱，∴D（0，﹣2）．

設直線BD的解析式為y=kx﹣2．

∵將（4，0）代入得：4k﹣2=0，∴k=，∴直線BD的解析式為．

（3）如圖1所示：

∵QM∥DC，∴當QM=CD時，四邊形CQMD是平行四邊形．

設點Q的坐標為（m，），則M（m，），∴，解得：m=2，m=0（不合題意，舍去），∴當m=2時，四邊形CQMD是平行四邊形；

（4）存在，設點Q的坐標為（m，），∵△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形，∴分兩種情況討論：

①當∠QBD=90°時，由勾股定理得：，即，解得：m=3，m=4（不合題意，舍去），∴Q（3，2）；

②當∠QDB=90°時，由勾股定理得：，即，解得：m=8，m=﹣1，∴Q（8，﹣18），（﹣1，0）；

綜上所述：點Q的坐標為（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．