Question

【題目】在學(xué)習(xí)了正方形后，數(shù)學(xué)小組的同學(xué)對(duì)正方形進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與B、C重合），點(diǎn)F在線段AE上，過(guò)點(diǎn)F的直線MN⊥AE，分別交AB、CD于點(diǎn)M、N . 此時(shí)，有結(jié)論AE=MN，請(qǐng)進(jìn)行證明；

（2）如圖2：當(dāng)點(diǎn)F為AE中點(diǎn)時(shí)，其他條件不變，連接正方形的對(duì)角線BD， MN 與BD交于點(diǎn)G，連接BF，此時(shí)有結(jié)論：BF= FG，請(qǐng)利用圖2做出證明.

（3）如圖3：當(dāng)點(diǎn)E為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，如果（2）中的其他條件不變，直線MN分別交直線AB、CD于點(diǎn)M、N，請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段AE與MN之間的數(shù)量關(guān)系、線段BF與FG之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）證明見(jiàn)解析；

（3）AE與 MN的數(shù)量關(guān)系是：AE= MN ，BF與FG的數(shù)量關(guān)系是： BF= FG

【解析】（1）作輔助線，構(gòu)建平行四邊形PMND，再證明△ABE≌△DAP，即可得出結(jié)論；

（2）連接AG、EG、CG，構(gòu)建全等三角形和直角三角形，證明AG=EG=CG，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得∠AGE=90°，在R△AGE中，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BF=AE，F(xiàn)G=AE，則BF=GF；

（3）①AE=MN，證明△AEB≌△NMQ；

②BF=FG，同理得出BF和FG分別是直角△AEB和直角△AGF斜邊上的中線，則 BF=AE，F(xiàn)G=AE，所以BF=FG.

證明：

(1)在圖1中，過(guò)點(diǎn)D作PD∥MN交AB于P，則∠APD=∠AMN

∵ 正方形ABCD

∴ AB = AD，AB∥DC，∠DAB =∠B = 90°

∴ 四邊形PMND是平行四邊形且PD = MN

∵ ∠B = 90° ∴∠BAE＋∠BEA= 90°

∵MN⊥AE于F， ∴∠BAE＋∠AMN = 90°

∴∠BEA =∠AMN =∠APD

又∵AB = AD，∠B =∠DAP = 90°

∴△ABE ≌ △DAP∴ AE = PD = MN

（2）在圖2中連接AG、EG、CG

由正方形的軸對(duì)稱(chēng)性 △ABG ≌ △CBG∴ AG = CG，∠GAB=∠GCB

∵ MN⊥AE于F，F為AE中點(diǎn)∴ AG = EG

∴ EG = CG，∠GEC=∠GCE∴ ∠GAB=∠GEC

由圖可知∠GEB＋∠GEC=180°∴ ∠GEB＋∠GAB =180°

又∵四邊形ABEG的內(nèi)角和為360°，∠ABE= 90°∴ ∠AGE = 90°

在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE為斜邊，F為AE的中點(diǎn)，

∴BF=AE， FG= AE ∴BF= FG

（3）AE與 MN的數(shù)量關(guān)系是：AE= MN

BF與FG的數(shù)量關(guān)系是： BF= FG

“點(diǎn)睛”本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、全等三角形、平行四邊形的性質(zhì)與判定，在有中點(diǎn)和直角三角形的前提下，可以利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半來(lái)證明兩條線段相等.